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第二講 無(wú)理方程的解法

來(lái)源：初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽 2005-09-09 16:21:09

中考真題

智能內(nèi)容
未知數(shù)含在根號(hào)下的方程叫作無(wú)理方程(或根式方程)，這是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的一些特殊形式的方程中的一種．解無(wú)理方程的基本思想是把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)解，在變形時(shí)要注意根據(jù)方程的結(jié)構(gòu)特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、設(shè)輔助元素法、利用比例性質(zhì)法等．本講將通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明這些方法的運(yùn)用．

　　例1 解方程

　　　　　

　　解 移項(xiàng)得

　　　　　　　　

兩邊平方后整理得

　　　　　　

再兩邊平方后整理得

x2＋3x-28＝0，

所以 x1=4，x2=-7．

　　經(jīng)檢驗(yàn)知，x2=-7為增根，所以原方程的根為x=4．

　　說(shuō)明 用乘方法(即將方程兩邊各自乘同次方來(lái)消去方程中的根號(hào))來(lái)解無(wú)理方程，往往會(huì)產(chǎn)生增根，應(yīng)注意驗(yàn)根．

　　例2 解方程

　　　　

　　　

方公式將方程的左端配方．將原方程變形為

所以

　　

兩邊平方得

3x2+x=9-6x＋x2，

　　

 

兩邊平方得

3x2+x=x2＋6x＋9，

　

　　　　

　　例3 解方程

　　　　　

　　　

　　　　　　

即

　　　　　　

所以

　　　　　　　

　

　　　　　　　

移項(xiàng)得　

　　　　　　　　

　

　　　　　

　　例4 解方程

　　　　

　　解 三個(gè)未知量、一個(gè)方程，要有確定的解，則方程的結(jié)構(gòu)必然是極其特殊的．將原方程變形為

　　　　　

配方得

　　　　　

利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得

　　　　　

所以 x=1，y=2，z=3．

　　經(jīng)檢驗(yàn)，x=1，y=2，z=3是原方程的根．

　　例5 解方程

　　　　　

　　　

　　　　　　　　　　

所以

將①兩邊平方、并利用②得

x2y2＋2xy-8=0，

(xy＋4)(xy-2)=0．

xy=2．　　　　　　�、�

　

　　　　

　　例6 解方程

　　　　

　　解 觀察到題中兩個(gè)根號(hào)的平方差是13，即

②÷①便得

　　　　

由①，③得　　

　　　　　

　

　　

　　例7 解方程

　　　　

　　分析與解 注意到

　　　　(2x2-1)-(x2-3x-2)=(2x2+2x+3)-(x2-x+2)．

設(shè)

　　

則

u2-v2＝w2-t2，�、�

u+v=w+t．　�、�

因?yàn)?/FONT>u+v=w+t=0無(wú)解，所以①÷②得

　　　　　　　　　　　　　u-v=w-t． 　　　　　　　　③

②＋③得u=w，即

　　　　　

解得x=-2．

　　經(jīng)檢驗(yàn)，x=-2是原方程的根．

　　例8 解方程

　　　　

　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

整理得　　　　　　y3-1=(1-y)2，

即　　　　　　　　(y-1)(y2+2)=0．

解得y=1，即x=-1．

　　經(jīng)檢驗(yàn)知，x=-1是原方程的根．

　　　

整理得　　　　　　y3-2y2+3y=0．

解得y=0，從而x=-1．

　　例9 解方程

　　　　

　　邊的分式的分子與分母只有一些項(xiàng)的符號(hào)不同，則可用合分比定理化簡(jiǎn)方程．

　　根據(jù)合分比定理得

　　　　　　　　　

兩邊平方得

　　　　

再用合分比定理得

　　　　　　　

化簡(jiǎn)得x2=4a2．解得x=±2a．

　　經(jīng)檢驗(yàn)，x=±2a是原方程的根．

練習(xí)二

　　1．填空：

　　

　　

　　　　

　　

　　

　　2．解方程

　　　　

　　3．解方程

　　　　

　　4．解方程

　　　　　

　　5．解方程

　　　　

　　6．解關(guān)于x的方程

　　　　

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